29
werden kann. Nach dem Krieg wandten sich die
Experten des Operations Research unter ande-
rem den Wirtschaftswissenschaften zu. Die ma-
thematische Optimierung ist eine gemeinsame
Teildisziplin von Operations Research und der
Angewandten Mathematik.
Das Ziel solcher Optimierung ist es, ein Opti-
mum (Minimum/Maximum) eines von verschie-
denen Einflüssen abhängigen Systems zu fin-
den. Mathematisch ausgedrückt handelt es
sich dabei um die Berechnung eines Minimums
oder eines Maximums einer Funktion, der so-
genannten Zielfunktion. Die
häufig lineare
Zielfunktion ist die mathematische Be-
schreibung des zu optimierenden Verhal-
tens
. Die Parameter eines Systems können
sich wiederum in bestimmten Grenzen bewe-
gen oder dürfen Schwellwerte nicht über- oder
unterschreiten. Diese Grenzen nennt man
Ne-
ben- oder Randbedingungen
. Als zulässige
Menge bezeichnet man die Parameterkombina-
tionen, die alle Nebenbedingungen erfüllen. Die
Zielfunktion sowie die Nebenbedingungen
definieren damit ein begrenztes mehrdi-
mensionales Gebilde
. Optimierungsalgorith-
men finden zulässige Parameterwerte für ein
Optimum im Sinne der Zielfunktion.
Eine Zielfunktion könnte z. B. eine Formel
für Umsatz, Kosten, Ertrag, oder Lagerbe-
stand sein. Nebenbedingungen können sich
aus der endlichen Anzahl von Ressourcen
wie Gerätschaften, Produktionsmitteln oder
Personal ergeben.
Grafisch lässt sich eine zweidimensionale li-
neare Optimierung wie in Abbildung 1 darge-
stellt skizzieren. Den Rand der zulässigen
Menge bilden die Nebenbedingungen. Eine
zweidimensionale, lineare Zielfunktion hat die
Form G(x1, x2) = c1*x1 + c2*x2. Alle Werte-
paare (x1, x2) haben auf den orangenen Gera-
den denselben Wert. Beginnend an einem
Startpunkt könnte ein Optimierungsalgorith-
mus die Gerade in die Richtung eines senk-
recht stehenden Vektors (gestrichelt darge-
stellt) bewegen. Wenn die Gerade dann nicht
mehr bewegt werden kann, ohne die zulässi-
ge Menge zu verlassen, ist das
globale Opti-
mum (X
optimal
) gefunden
.
Üblicherweise hängen Optimierungsprobleme
an mehr als zwei Parametern, sodass sich die
oben beschriebene Ebene in einen n-dimensi-
onalen Raum verwandelt und die Geraden zu
sogenannten Hyperebenen werden. Für den
Menschen ist das nicht mehr bildlich vorstell-
bar und kann nur noch auf Basis mathemati-
scher Formeln betrachtet werden.
Es gibt verschiedene Lösungsverfahren, um ein
Optimum zu finden, die sich in ihrer Komplexität
und Güte unterscheiden. Mit fortschreitender
Leistungsfähigkeit der Computer lassen sich
immer größere und komplexere Fragestellun-
gen auf Basis einer größer werdenden Daten-
menge mit hoher Güte lösen. Oft ist die
Her-
ausforderung in einem Optimierungspro-
jekt, ein passendes, mathematisches Mo-
dell, bestehend aus Zielfunktion und
Nebenbedingungen, zu finden
sowie einen
Algorithmus so zu wählen, dass eine Lösung in
kurzer Zeit gefunden wird.
Anwendungsgebiete für
Optimierungsrechnungen
Ein wichtiges Anwendungsgebiet der Optimie-
rung ist die Produktionsplanung. Ziel ist es hier-
bei häufig, mit minimalem Ressourceneinsatz
möglichst viele Produkte zu produzieren. Vor-
Abb. 1: Am Beispiel der linearen Optimierung wird die zulässige Menge durch Geraden begrenzt.
Werte liegen „über“ oder „unter“ der Geraden.
Controller Praxis
Dieses Buch ist der
ideale Begleiter im Con-
trolling-Alltag
und zeigt Ihnen die Entwicklung
zum Business-Partner des Managements auf.
Praxisnahes Controller-Wissen und alle
Aspekte der Unternehmensführung
von den
Experten der CA controller akademie.
Autoren: Albrecht Deyhle, Klaus Eiselmayer,
Guido Kleinhietpaß
Hardcover: 352 Seiten, Euro 49,95
Bestellung unter:
CM Juli / August 2017
