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( zur Basis 10) z u d em , dass e i ne (mi t
w a c h s e n d e r G r ö ß e n o r d n u n g der x,
steigende) Fehl er redukt ion für al le d i e –
jenigen Zah l en x, erfolgt , die größer als
e twa 2 bis 3 sind. Entsprechend ergibt
sich für al le x,, die kleiner als e t wa 2
bis 3 sind, ein Anste igen des relat iven
Fehlers f,.
Sol l die F e h l e r f o r t p f l a n z ung be i M i t –
t e l we r t en , I nde x z ah l en u. Ä. ermi t t e l t
we r den , d a n n ist es zwe c kmä ß i g , z u –
nä chs t d i e f a l sche Ge s am t g r ö ß e (F)
und mi t Hi l fe von An n a hme n oder An –
gaben über d i e re l a t i ven Einze l fehl er
die „wahre" Gesamt größe (W) bzw. das
I n t e r va l l der „wah r en" Ge s amt g r öße
zu be r echnen . Der relat ive Gesamt f eh –
ler (r) für die Gesamt größe ergibt sich
d a nn über r = (W - F)/F, wor aus W = F(1
+ r) folgt . Be i sp i e l : Die v i er Beoba ch –
t ungszah l en 4,5; 1,5; 6,5 und 7,5 sind
auf ganze Zah l en zu r unden . Der Run–
dungs f eh l e r für d i e S umme u n d das
Produkt der vier Zah l en ist zu bes t im–
m e n : Di e S umm e n b i l d u n g ist e t w a
dor t r e l evan t , fal ls die v i er Beobach –
t ungs z ah l en z. B. Ums ä t z e ve r sch i e –
dener Ve r kau f sgeb i e t e sind und nun
aggregr i er t we r den . Runde t ma n , w i e
in d i esem Fall (in d em die Zah l en h i n –
ter d em Komma al le 5 l auten) üb l i ch ,
nun die Zah l en vor der l e t z t en Stel le
g r undsä t z l i ch au f d i e nächs t g r öße r e
natür l i che Zah l (also z. B. 4,5 zu 5) , so
ergibt sich für die Summe ein relat iver
Fehler von r = - 9 %. We r den hingegen
die vier Beobach t ungswe r t e mu l t i p l i –
z i e r t , so e r g i b t s i ch das m a t h e m a –
t ische Produkt ein relat iver Fehler von
r = - 41 %. Der Fal l , dass mehrere Wer –
te mi t gleicher D imens i on oder ohne
Dimens i on mu l t i p l i z i er t we r den , ist in
der Be t r i ebswi r t scha f t nicht so häuf ig;
d i ese S i t ua t i on t r i t t be i sp i e l swe i s e
d a n n au f , w e n n m a n d i e B e o b a c h –
t ungswe r t e als Prozentwer t e i nt erpre –
t i er t we r den : So können be i spi e l swe i –
se dur ch Mu l t i p l i ka t i on von d imens i –
onslosen Pr ozen twe r t en die Verkaufs–
ant e i l e eines be s t immt en Kunden im
Si nne des D r i l l - down be r echne t wer –
d e n : De r G e s am t ma r k a n t e i l b e t r ä g t
4 , 5 % ; de r An t e i l e i nes b e s t i mm t e n
Ve r kau f sgeb i e t s in d i esem M a r k t be –
t rägt 1,5 %, der Antei l einer b e s t i mm–
t en Kundengruppe in d i esem Verkaufs–
geb i e t be t r äg t 6,5 %, u n d der An t e i l
des spezi f ischen Kunden in dieser Kun–
deng r uppe bet rägt 7,5 %, also 4,5 * 1,5
* 6,5 * 7,5. Unter d em Ges i chtspunkt der
Feh l er for tpf l anzung ist es daher al ler–
dings angebr ach t , die Rundungsrege l
dah i ngehend zu ände r n , dass auf die
nächs t e gerade( ! ) Zah l z u r unden ist,
we nn an der l e t z t en Stel le eine 5 steht .
In d i esem Z u s amme n h a n g gi l t die 0
d a nn als gerade Zah l . Bei einer größe –
r en Z a h l v on B e o b a c h t u n g s w e r t e n
w i r d d a n n näml i ch in d i esen S i t ua t i –
onen in der Hä l f t e der Fälle au f ge r un –
det , in der ande r en Hä l f te abge runde t .
Die relat iven Fehler l aut en Jetzt: r = 0
für die Summe und r = - 14 % für das
Produkt . Die Feh l er for tpf l anzung wu r –
de durch die ve r ände r t e Rundungs r e –
gel also drast isch reduz i er t !
Zeitreihenanalyse und Forecasting
Komponen t en der Ze i t re i he
Un t e r L ä n g s s c h n i t t d a t e n od e r Ze i t –
r e i h e n v e r s t e h t m a n M e r k m a l s a u s –
pr agungen , die zu versch i edenen auf -
e i nande r f o l genden Ze i t punk t en (oder
Ze i t r äumen ) an ein und derselben Un –
t ersuchungse i nhe i t bzw. in Form von
Ma ß z a h l e n für ein und dieselbe stat is–
t i sche Ma s s e e r h o b e n wo r d e n s i nd
(z. B. Ums ä t z e bzw. Erlöse im Ze l t ab –
lauf) . Die eigent l iche Ana l yse der Zei t –
r e i he be s t eh t vo r a l l em in d e m Ver –
such, die Zei t reihe addi t i v oder mu l t i -
pl i kat i v in verschi edene Bes t andt e i l e
z u ze r l egen , um d i e Prognose z u er–
l e i c h t e r n ( quas i e i n z e i t b e z o g e n e s
Dr i l l - down ) ; me i st be t racht e t ma n da –
bei die folgenden vier Komponen t en :
• der e i ne l ang f r i s t i ge En t w i c k l ung
beschre ibende Trend t
• d i e z y k l i s c h e , z. B. k o n j u n k t u r –
bed i ng t e Komponen t e z (mi t Pha –
sen, We n d e p u n k t , Amp l i t ud e und
Niveau)
• d i e P e r i o d e n - u n d i n s b e s ond e r e
mon a t s t y p i s c h e Abwe i c hung von
Trend und Zyk lus , also die Sa i son–
k ompon e n t e s ( üb l i che rwe i se wer –
den die e i nze l nen Mona t swe r t e von
s sich über das jähr zu 0 add i e r en ,
so dass ein e inze lnes spez i f isches
Mona t s - s posi t iv oder negat i v von
der durch t + z = gl at te Komponen –
te geb i l de t en En t w i c k l ung a bw e i –
chen kann , die die langf r ist ige Ent–
wi ck l ung wi ederg i bt )
• die i r regu l äre Komponen t e r (Rest–
bzw. Zufal lsgröße) .
Diese v i er Kompon e n t e n können u n –
terschi edl i ch ve r knüp f t sein. Für Con–
t r o l l i n g zwe c k e w i r d m a n t yp i sche r –
we i se v e r e i n f a chend von e i ner addi –
t iven Verknüpfung a u s g e h e n . D i e
Trendext rapolat ion k a n n n a c h ver –
s c h i e d e n e n me h r ode r we n i g e r e i n –
fachen Me t hoden er folgen. Neben den
hier vorgeste l l ten Prognosever f ahren
gibt es we i t ere Me t hod e n (z. B. Einsatz
von spe z i e l l en F i l t e rn ) , d i e hier auf –
g r und ihrer Komp l ex i t ä t für d i e Con –
t r o l l i ngp r ax i s abe r n i ch t da r ges t e l l t
we r d e n (vgl . z. B. Sch l l t t gen / St re i t –
berg 2001) . Im e i nze l nen:
• Me t hod e der Reihenhälften. Dabe i
w i r d die Ze i t r e i he ha l b i e r t und je
H ä l f t e e i n M i t t e l w e r t g e b i l d e t .
Durch diese zwe i Mi t t e l we r t e kann
gr aph i sch e ine Gerade ge l egt wer –
den , näml i ch die gesuchte Trendge–
r a d e b z w . d i e g e s u c h t e l i n e a r e
T r e n d f u n k t i o n . Be i sp i e l : Üb e r 14
j ähre l aut en die Jahresumsät ze (in
Mi o-Ge l de i nhe i t en) einer Fi l iale: 7 , 8 ,
10, 9, 12, 10, 14, 15, 15, 17, 20 , 21 , 28 ,
3 1 . Das a r i t hme t i s c h e M i t t e l de r
ersten Re i henhä l f t e ist 10, das der
zwe i t en Hä l f te 21 . Durch die Punkte
(4; 10) und (11; 21) lässt sich d a nn
die Trendgerade be s t immen als x =
3,714 + 1,5711. i ist dabe i das j ewe i –
lige jähr, also 1, 2 , 3 usw. bis 14.
• Me t h o d e der kleinsten Quadrate.
Die be iden Parame t er a und b der l i –
nearen Tr end f unk t i on x = a + bi er-
r echen sich als b = |n ^ i x , - (Ji)
( 2 x , ) l : In
- iliV]
und a = ( 2 x , ) / n
- ( b^D / n . Gemäß o. g. Zahl enbe i spi e l
e rg i b t sich b = (14 * 2 0 0 2 - 105 *
217 ) : (14 * 1015 - 105^) = 1,646. a er–
rechnet sich als a = 217 / 14 - 1646 *
105 / 14 = 3,153. Die T r end f unk t i on
l autet x = 3 , 1 5 3+ 1,646L
Reihenglättung und Saisonbereini –
gung zur Trendbestimmung
I. d. R. w i r d d i e Re i he der a r i t h m e –
t ischen Mi t t e l der Orginal reihe glat ter
ve r l au f en als d i e Reihe der Or i g i na l –
w e r t e se l bs t . M a n b i l d e t d a h e r i m
Sinne eines gleitenden Durchschnitts
solche M i t t e l we r t e aus den Or i g i na l –
we r t en . Am besonders wi ch t i gen Bei –
spiel der Sa i sonbere i n i gung einer Da –
tenre ihe eines sa i sonabhäng i gen Ha n –
delsgeschäf ts aus den l ahren 2001 bis
2005 sei dies dargestel l t : Der glei tende
1 2 - Mo n a t s d u r c h s c h n i t t M D ist de f i –
nier t als M D = 1/12 (1/2 x,,, + x,^ + ... +
X
| , 5 +
1/2 X | , J u n d stel l t e i n a r i t hme –
t isches Mi t t e l über zwöl f Mona t swe r t e
da r . Da r a u s k a n n m a n e i ne s a i s on -
3 4 4 ^ ^ ,
ONTROLLER