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CM 4 / 2007 Frank-J. Witt / Kerin Witt
Fehlerfortpflanzung
Fehlerarten
We r d e n f eh l e r ha f t e Z a h l e n x,, de r en
„wahr e r We r t " x^ jewei ls n i cht genau
bekann t ist, bearbe i t e t und verknüpf t ,
dann können sich die sys t ema t i schen
Fehler in den Ausgangsda t en ve rgrö –
ß e r n ode r v e r k l e i n e r n (= Feh l e r f o r t –
p f l a n z ung ) . Das A u sma ß der Fehl er –
f o r t p f l a n z u n g h ä ng t von der Größe
und von der Ri ch t ung der Ausgangs –
fehler sowi e von den jewei ls benu t z t en
Rechenschr i t ten bzw. Rechenar t en ab.
In Abb. 6 we r den unter Abste l lung auf
d i e G r u n d r e c h e n a r t e n d i e A u s w i r –
kungen des Rechnens mi t fehlerbehaf –
t e t en Zah l en au f geze i g t . Anme r k u n g
der relat ive Fehler ist fi = ( xw - x i ) / x i .
Beispiel : wa h r e r Ra t i ngwe r t der Kun –
d e n z u s t i mmu n g 8, b e ob a c h t e t e r / g e –
schä t z t e r We r t 7, also f = (8 - 7 ) / 7 =
1 4 , 2% . In der Praxis kennt ma n meist
den wa h r e n We r t nicht , hat aber mi t –
t e l s sog . K o n f i d e n z i n t e r v a l l - S c h ä t –
zungen oder aus d em Bauch heraus e i –
ne we nn auch nur subjekt ive Me i nung ,
wi e groß Abwe i chungen , Schätzfehler
usw. unge f ähr sind, so dass auf dieser
Basis der Gesamt f eh l e r lt. Abb . 6 er–
rechnet we r den kann .
gleich groß sind) zwi schen d em größ –
t en und d em k l e i ns t en r e l a t i ven E i n –
zel fehler, bei ungleichen bzw. a l t ern i e –
r enden Vo r ze i chen der r e l a t i ven E i n –
ze l f eh l e r ist e i ne deu t l i che Feh l e r r e –
duk t i on zu e rwa r t en . Liegen (wie z.B.
b e i mo n a t l i c h b e r e c h n e t e n I n d e x –
z a h l e n bzg l . des U n t e r n e h m e n s u m –
satzes) zwe i in e twa gleich große feh–
l erbeha f t e t e Zah l en vor, die beide po –
si t ive oder negat ive Vorze i chen in den
r e l a t i v e n E i n z e l f e h l e r n a u f w e i s e n ,
dann erfolgt bei der Sub t r ak t i on dieser
Zah l en ( e twa bei der Berechnung der
ersten Di f ferenzen) eine deut l i che Ver–
v i e l f a chung der Ausgangs f eh l e r . Bei
entgegengese t z t en Vorze i chen der re –
l at i ven Einzel fehler ist der relat ive Ge–
samt f eh l er noch größer .
Die Mu l t i p l i k a t i on zwe i er fehlerbehaf –
teter Zah l en f ühr t bei gleichen Vor ze i –
chen der relat iven Einzel fehler , die in
e t wa gleich groß sind, prakt isch zu e i –
ner Ve rdopp l ung des re l at i ven Ei nze l –
fehlers und dami t zu einer deut l i chen
Feh l e r f o r t p f l an z ung . L i egen in e t w a
gleich große posi t ive und negat ive re–
lat ive Einzel fehler vor, d a nn kann der
relat ive Gesamt fehl er bei der Mu l t i p l i –
ka t i on sehr k l e i n we r d e n , wob e i d i e
Rcchei iart
Relat iver Gesamt fehler
X |
-I-
X3
( X | f i
+ x : f : ) / ( x i
+X2)
X |
- X 2
(xil", - x : f : ) / ( x ,
- X : )
X | X2
f i
+ t': +
f ' i f :
X
| / x :
( f i - f : ) / ( l + f : )
I t ) ( ) (x, -x, . , ) /x, . ,
x , / ( x , - x , . i ) * ( f . - f ' M ) / ( l + f'.-i)
Abb. 6: Fehlerfortpflanzung
Be i s p i e l e f ü r Feh l e r be i e i n z e l n e n
Rechena r t en
Bei A d d i t i o n f e h l e r b e h a f t e t e r A u s –
gangs z ah l en erg i bt sich der r e l a t i ve
Gesamt f eh l e r als a r i t hme t i sches M i t –
tel der Einzel fehler , wobe i mi t den f eh–
l e r beha f t e t en Zah l en gewi ch t e t w i r d .
Dieses Ergebnis kann auf i (1=1, 2
n)
Beobachtungswer t e di rekt übe r t r agen
w e r d e n ; es g i l t g l e i ch z e i t i g f ür das
a r i t hme t i sche M i t t e l aus d i esen i Be–
oba ch t ungswe r t en . Die Add i t i on f eh –
l e r beha f t e t e r Z a h l e n f üh r t in j e d em
Fall zu einer Fehl er redukt ion: Bei glei –
chen Vorzeichen al ler relat iven Einze l –
fehler l iegt der re l at i ve Gesamt f eh l e r
(fal ls ni cht al le re l a t i ven Einze l fehl er
Gr ößeno r dnung der f eh l e r beha f t e t en
Zah l en selbst in d i e s em Z u s amme n –
hang keine Rolle spielt. Die Mu l t i p l i ka –
t ion einer f eh l erbeha f t e t en Zah l mi t e i –
ner festen Zah l (def inier ter Mu l t i p l i ka –
tor) ve r ände r t den relat iven Einze l feh–
ler der Ausgangszahl nicht . Bei Di v i s ion
zwe i er fehl erbehaf teter Zah l en , deren
r e l a t i ve E i n z e l f eh l e r g l e i che Vo r z e i –
chen bes i t zen , er folgt e i ne deu t l i che
Feh l e r r eduk t i on , w e n n d i e r e l a t i ven
E i n z e l f eh l e r b e t r a g smä ß i g in e t w a
gleich groß sind. Diese Ausgangskons–
t e l l a t i on ist in der Un t e r nehmens s t a –
t i st i k z. B. d a n n gegeben , we n n (bei
kons t an t e r Er hebungs t echn i k ) Gl i ed –
z ah l en aus Mo n a t swe r t e n be r echne t
we r den ; Gl i edzah l en sind Messzah l en
auf Ket tenbas i s; d. h. Gl i edzah l en be –
schr e i ben bei Ze i t r e i hen f o r t l au f end
das relat ive Wa c h s t um von e i nem Zei t-
r e l henwe r t auf den nächs t en Ze i t r e i –
henwe r t . Bei unterschi edl i chen Vorze i –
chen der re l at i ven Einzel fehler ist der
relat ive Gesamt f eh l er des Quot i ent en
aus zwe i f eh l e rbeha f t e t en Zah l en nä –
he r ungswe i se gleich der S umme der
relat iven Einzel fehler , we n n ma n eine
Größenordnung von bis zu -
H -
10 % für
d i e r e l a t i v en E i nz e l f eh l e r a n n i mm t .
Wi r d eine f eh l erbeha f t e t e Zah l dur ch
eine feste Zah l di v idi er t (def inier ter Di –
visor) , d a nn ve r ände r t sich der relat ive
Fehler nicht .
Wa c h s t um s r a t e n s i nd d e f i n i e r t als
Veränderungsra t en im Vor jahres- bzw.
V o r p e r i o d e n v e r g l e i c h (z . B. Wa c h s –
t ums r a t e des Umsa t zes ) . Auch der a n –
ge führ t e a l l geme i ne Ausdruck für den
r e l a t i ven Gesamt f eh l e r e i ner Wa c h s –
t ums r a t e zeigt , dass Wachs t ums r a t en
a l s Komb i n a t i o n aus ( e r s t en ) D i f f e –
r e n z e n u n d G l i e d z a h l e n au f ge f ass t
we r d e n können . Eine Ve r v i e l f achung
der r e l a t i ven E i nze l f eh l e r ( „Fehl erex–
plosion") ist imme r d a nn zu e rwa r t en ,
we nn die in die Wachs t ums r a t e e inge–
henden Beoba ch t ungswe r t e in e t wa
gleich groß sind. Dieser Fall t r i t t häuf ig
bei der Be r echnung von Wa c h s t ums –
raten aus I ndexzah l en auf (z. B. Ve r än –
d e r u n g des P r e i s n i v e a u s in e i n e m
Ma r k t segmen t , Umsa t z i nd i zes in Kun–
deng r uppen ) . Da nn noch vo l l s t änd i g -
k e i t s h a l b e r no c h g a n z k u r z z u h ö –
he r en Rechena r t en , die aber im Con–
t rol l ing meist nur wen i g gef ragt sind:
W i r d e i ne Z a h l x,, d i e den r e l a t i ven
Fehler f, bes i t z t , po t enz i e r t (mi t d em
Exponen t en n) , d a nn be t r äg t der rela–
t ive Fehler der n- ten Potenz (1 f,)" - 1;
d . h. m i n d e s t e n s nf,. De n e n t s p r e –
c h e n d e n r e l a t i v en Feh l er der n - t en
Wu r z e l e r hä l t m a n übe r (1
+
f , ) ' " - 1
( n ä h e r ung swe i s e : n- ' f , ) . Der r e l a t i ve
Fehler des Loga r i t hmus (zur Basis 10)
für X, ist log(kf , ) / log(x, ) . Er ist dami t für
x =1 ni cht de f i n i er t , und für al le x, ( 1
(aber > 0) ände r t sich das Vor ze i chen
des r e l a t i ven Fehlers. Dies bedeu t e t ,
dass u n t e r d e m Ge s i c h t s p u n k t de r
Feh l er for tpf l anzung speziel l die Loga–
r i t hme n v on r e l a t i v en Hä u f i g k e i t e n
ni cht v e r we nd e t we r d e n so l l t en . Für
e i nen Feh l e rbe r e i ch von m a x i m a l + -
1 0 0 % der x, ze i gt d i e Be z i ehung f ür
den re l at i ven Fehler des Loga r i t hmus
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