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chungen der Beobach t ungswe r t e von
M i t t e l we r t e n , wob e i anges t r eb t we r –
den sol l te , dass auch d i e S t r euungs –
m a ß e d i e D i me n s i on der M e r kma l s –
a u s p r a g u n g e n be s i t z en . In der Con –
t r o l l i n g s t a t i s t i k w e r d e n d i e A b w e i –
chungen i. d. R. auf das a r i t hme t i sche
M i t t e l bezogen . Das a m me i s t en ver–
we n d e t e S t r euungsmaß ist d i e S t a n –
d a r d a bwe i c hung , die (mi t A M = a r i t h -
m e t i s c h e s M i t t e l , x , = B e o b a c h -
t ungswe r t und d em Summa t i ons i ndex
1=1,2, . . . ,n) w i e folgt de f i n i e r t ist: [ n '
2
(x, - AM
)^r
l Vergleicht ma n zwe i sta–
t i s t i sche M a s s e n , d e r e n M e r k m a l s –
a u s p r ä gung e n deu t l i ch un t e r s ch i ed –
l i che G r ö ß e n o r d n u n g e n ode r un t e r –
s c h i e d l i c h e D i me n s i o n e n b e s i t z e n ,
d a n n ist d i e S t a n d a r d a b w e i c h u n g
durch das a r i t hme t i sche Mi t t e l zu d i –
v i d i e r e n . D i e s e s ( d i me n s i o n s l o s e )
S t r euungsmaß w i r d auch Va r i a t i ons –
koef f i z i ent genann t . Beispiel: Die St an–
d a r d a b w e i c h u n g e n ( b zw . in K l a m –
me r a ng a b e : Va r i a t i onskoe f f i z i en t en )
für die Da t en des o. g. Zahlenbeispiels
l auten im Fall 1: 1,56 (0,45) , im Fall 2:
1,56 (0,35) und im Fall 3 : 1 , 58 (0,40) . In
den Fäl len 1 und 2 l iegt eine gleiche
St reuung der Beobach t ungswe r t e um
das a r i t hme t i sche Mi t t e l vor, die sich
auch in den S t a nd a r d a bwe i c hung e n
zeigt . Die Var i a t i onskoe f f i z i ent en we i –
c h e n w e g e n de r u n t e r s c h i e d l i c h e n
Form der Ver tei lung und dami t wegen
der unterschi edl i chen a r i t hme t i schen
Mi t t e l a l l erdings vone i nande r ab. A n –
wendungsbe i sp i e l : In H amb u r g u n d
NYC wu r den die Tagesumsä t ze des Au –
ßend i ens t es aus demse l ben Konzern
erhoben (in T € bzw. in $) , und zwa r je–
wei ls bei sechs Außend i ens tmi t a r be i –
tern. Die jewei l igen Umsa t z r e i hen l au–
t en für NYC: 9 5 0 , 1 . 200 , 9 0 0 , 1 . 050 ,
1 . 100 , 800 und für Hambu r g : 3,40, 2,70,
3,50, 2 , 60 , 3,30, 250 . Es stel lt sich die
Frage, in we l che r Stadt die Tagesum–
sät ze stärker s t reuen . Als Kenn - bzw.
Ma ß z a h l für die St reuung w i r d i. d. R.
für eine solche Fragestel lung die Stan-
da r dabwe l chung benu t z t . Es ergeben
sich folgende We r t e für NYC: A r i t hm .
M i t t e l 1,000 $, S t a nd a r d a bwe i c hung
132,3 $. Für Hambu r g : A r i t hm. Mi t t e l 3
T€ , S t anda r dabwe i chung 0,41 T€ . Di e–
se e rmi t t e l t en S t anda r dabwe i chungen
sol l ten jedoch nicht mi t e i nande r verg–
l ichen we r den , da unterschiedl iche Di –
mens i onen vor l i egen ( € vs. $) ; auch
ve r b i e t e t sich e i ne Um r e c h n u n g v i a
Wechse l kurse . In di esem Fall (wi e auch
bei deu t l i chen Gr ößenun t e r sch i eden
der Mi t t e lwe r t e ) sol lte daher dann ein
relat ives (dimensionsloses) St reuungs–
ma ß ve rwende t we r den , w i e z. B. der
Va r i a t i onskoe f f i z i en t V = s / AM , also
das Ve r h ä l t n i s v on S t a n d a r d a b w e i –
chung und a r i t hm. Mi t t e l . Dann ergibt
sich V „ , , = 0,132 oder 13,2 % und V^^^
b u r g
'
0,136 oder 13,6 %. Der Var i a t i ons –
koef f i z ient we i st also für Hambu r g et–
wa s höhere We r t e auf als für NYC. Die
T a g e s ums ä t z e s t r e u e n in H a m b u r g
folgl i ch e t wa s me h r als in NYC. Der
Me d i a n der abso l ut en Abwe i chungen
vom
M e d i a n MAO (med i an abso l u t e
dev i at ion) einer St ichprobe bzw. einer
Zah l enre i he x, ... x„ berechnet sich als
Med i an m^ der Größen y . = l x
, -mj
(für i
= 1....m), wobe i m^ den Me d i a n von x , . . .
x„ beze i chnet . Der MA D w i r d mi t un t e r
noch du r ch Mu l t i p l i k a t i on mi t e i ner
Kons t an t en ko r r i g i e r t . Be i sp i e l : Der
MA D der fünf Beobach t ungswe r t e -0 , 5 ,
1,5 - 1 , 0,5 -9,5 ist z u be s t imnmen . Da–
zu berechnet ma n zunächs t den Me d i –
an m^ = -0 , 5 von x.^.x^ und e rha l t en
d a nn yi=IX
| -mJ
= 1-0,5 - (-0,5)1=1-0,5
-t-
0,51=0; en t sp r echend y , = 2 , y , = 0,5,
y , = 1 und y , = 9. Es Ist also M A D =
m^
= 1. Wü r d e ma n indes hier nun x , = -9,5
als „Ausreißer" nicht berücks i cht igen,
so hä t t e ma n mi t m^ = 1/2 (-0,5 -^ 0,5) =
0, d. h. y, = IxJ für i = 1,...4 den We r t
M A D = 1/2 (0,5 + 1) = 0,75. Die MAD - An -
wendung ist im Cont rol l ingbereich je–
doch i nsgesamt e t wa s unüb l i ch und
f i nde t sich ehe r i m t e c hn i s c h e n Be –
reich.
Abb. 5 fasst wesent l i che cont rol l ingre–
l evant e S t r euungsmaße noch e i nma l
z u s a mm e n . Die o. g. we i t e r e n S t r eu –
ungsmaße (z. B. Ent ropie, MAD ) haben
in der Cont rol l ingprax i s fakt isch deut –
l ich ger i ngeres Anwe ndung s g ew i c h t ,
können im Einzel fal l aber durchaus re–
l evant sein!
Sirrulingsmaß und .Anwendung
Spannui-ilc; alle Skalen aiiUer Noininalskala
Durchschniltliehc Abweichung:
Imcrval l-
und Ralioskalü
Mittlere quadratisehe .Abv\eiehurij:: Interxall-
und Raliiiskala
Siandardabweichung:
Ratioskala
Derinition
Ui l lcrcnz /.wischen dem gröUten und kleinsten Beobachtungswert
arillinictisehcs Mitlei der absoluten Abstände jedes Bcobachtungswertes
\ om arithmetischen Mittel
Vor tei le
Nachl r i le
2 . 4
I
1 . 4
arithmetisches Mittel der Abstandsquadrale jedes Beobachtungswcnes
\ om arithmelischen Mi l le!
Intervall-
und
positive Wur / e l aus der minieren quadratischen .Abweichung
VariationskoelTi/icnl: Raiioskala
I
urteile
/ Säitilliche Daten wer Jen verwendet
2. Lciciile Berechnung! möglich
i.
Relativen, il. h. iHmenüiimsloses Strciiiinfi.smaß. besonders ßir
Verf^lcichc mehrerer .
\la.\.\en gceignel
Verhältnis von Standardahvseichung zu arilhmetischem Mittel
i
yachleile
1 . 3
/. keine unsreichende In/urmutitm über die l'ertcilnng der .\ttili.\li.^chen Ua.s.se
} 2.
Schwierig zu interpretieren. Ja die l)iitieti\it>n iti\ Qtiadral erhitben
4. Leicht inlerprelierhar
S. Korrektttr im Rahmen der Stichptobenihenrie erfttrderl anfivendigere
Umrechnung
Abb. 5: Streuungsmaße
3 4 2
^ 1
ONTROLLER