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CM 4 / 2007 Frank-J. Witt / Kerin Witt
e i n f a c h d i e a c h t e W u r z e l a u s
( 1 4 . 7 8 3 / 5 . 6 5 6 = 2,61) in e i ne Wa c h s –
t ums r a t e umf o rmt .
Be i spi e l 5: Ein Außend i ens t l e r t a n k t
nache i nander bei vier Tankstel len. Die
Kraf tstof fpreise (€ pro Liter) bet ragen
0,70, 0 , 80 , 0,90 und 1,00. Der Au ß e n –
dienst ler t ank t bei jeder Tankstel le 2 0
1 Kraf tstof f . Es ist der Du r chs chn i t t –
spreis gesucht . Dieser bet ragt : 0,85 € /
1. Es ist näml i ch das ar i thme t i sche Mi t –
tel zu be r echnen , da aus der Dimens i –
on der Beobach t ungsv / e r t e ( € / l ) der
Nenner (die Li terzahl ) in der Fragestel –
lung fest vorgegeben ist.
Be i spi e l 6: Ein Außend i ens t l e r t a n k t
nache i nander bei vier Tankstel len. Die
Benz i np r e i se ( € pro Li ter ) b e t r a g e n
0,70, 0,80, 0,90 und 1,00. Wenn der Au –
ßendienst ler bei jeder Tankstel le für 10
€ t a n k t , b e t r ä g t der m i t t l e r e Pre i s :
0,835 € / l . Es ist das harmon i sche Mi t –
tel zu berechnen, da aus der Dimens i –
on der Be ob a c h t ung swe r t e ( € / l ) der
Z ä h l e r (der € - Be t r a g ) in de r Au f g a –
bens t e l l ung fest vo r gegeben ist. H i n –
weis: Ist der Zähler der Dimens ion fest
vorgegeben, so kann in j edem Fall auch
ein gewi chtetes ar i thmet i sches Mi t t e l
benu t z t we r d e n , w e n n die Gew i ch t e
aber den (in der Aufgabenstel lung nicht
fest vorgegebenen) Nenner der D imen –
sion b e s t i mm t we r d e n . Im vod i egen
den Fal l sind d emn a c h als Gew i ch t e
die je Tankstel le gekauf ten Liter zu ver–
wenden : 14,3; 12,5; 11,1 und 10,0.
Be i sp i e l 7: Ne u n As s e s smen t - Kand i -
da t en erz ielen folgende Bewer tungser –
gebnisse („Noten"): 4, 2 , 3 , 4 , 2 , 5 , 4 , 2 , 4 .
Die Durchschn i t t snot e bet rägt : 4. Denn
es ist auf den Me d i a n abzus t e l l en , der
im vor l i egenden Fall mi t d em Modu s
zusammen f a l l t , da die Beobachtungs –
we r t e in der Form von Rangzah l en vor–
l iegen. Al l geme i n gi l t , dass bei ord i na l
ska l i e r t en Be ob a c h t ung swe r t e n das
a r i t hme t i sche Mi t t e l nicht ve rwende t
we rden sol l te.
Be i sp i e l 8: Ein Un t e r n e hme n e r höh t
die Preise des Gutes A (mona t l . Absa t z
2 . 000 Stück) um 0,60 € , des Gutes B (20
Stück) u m 0 , 20 € . Die du r c h s c hn i t t –
l iche Erhöhung bet rägt : 0 , 60 € . Es ist
zwe c kmä ß i g e r we i s e das gew i ch t e t e
a r i t hme t i sche Mi t t e l (mi t den über die
A b s a t z z a h l e n b e r e c h n e t e n G e w i c h –
ten) zu benu t zen .
Beispiel 9: Bei 1.000 v om Persona lma –
n a g eme n t e ines G r o ß u n t e r n e hme n s
unt ersucht en Krankhe i tsfä l l en lag fol –
gende Al t e r ss t ruk t ur der k r anken Ar–
be i t nehme r vor: 3 5 0 wa r e n zwi schen
20 und 30 |ahre al t , 2 0 0 zwi schen 3 0
und 4 0 , 100 zwi schen 4 0 und 50 und
350 zwi schen 50 und 60 . In di esem Fall
sol lte wegen der b imoda l en Ver te i lung
der Beobach t ungswe r t e (= jewei ls 3 5 0
Kranke wa r en zwi schen 20 und 30 j äh –
re bzw. zwi schen 50 und 60 )ahre alt)
das a r i t hme t i s c h e M i t t e l v e r we n d e t
we r den : 39,5 )ahre, fal ls die jewei l igen
Kl assenmi t ten als Beobach t ungswe r t e
zug r unde gelegt we rden .
Streuungsmaße
Zwe i s t a t i s t i sche Ma s s e n , de r en M i t –
t e lwer t e ident isch sind, können sich u.
a. dadur ch untersche iden, dass in der
e i nen s t a t i s t i schen Ma s s e d i e Beob –
ach t ungswe r t e sehr nahe bei d em be –
t racht e t en Mi t t e lwe r t l iegen und dass
in der ande r en stat ist ischen Masse die
B e o b a c h t u n g s w e r t e s t a r k v o m b e –
t racht e t en Mi t t e l we r t abwe i chen . Ana –
log wi e bei der Anwendung von Mi t t e l –
we r t e n g i b t es auch h i er s i t ua t i ons -
und namen t l i ch skalenspez i f ische An –
wendungsbere i che .
Di e S t r e u u n g m i n d e s t e n s n o m i n a l –
ska l i e r t e r Be ob a c h t ung swe r t e k a n n
mi t Hi l fe der Kennzah l Ent ropie erfasst
we r den , die wi e folgt def inier t ist und
v i e l l e i cht e t w ^ a s abs ch r e c k end aus –
sieht : [Id(n) - 1/n
lin, *
ld(n,))l / ld(k).
Dabe i beze i chnen
• i (1=1, 2,.,.,k) die An z a h l der Me r k –
m a l s a u s p r ä g u n g e n ( d i e S u mm e
lauf t über al le i)
• n, d i e a b s o l u t e n H ä u f i g k e i t e n je
Me r kma l ssausp r ägung
• n d i e A n z a h l de r B e o b a c h t u n g s –
we r t e
• Id den Logar i thmus zur Basis 2 , der
z. B. du r ch Mu l t i p l i k a t i on des ent –
sp r echenden Loga r i t hmus zur Ba –
sis 10 mi t d em Zwe i e rmodu l (3,3219)
berechnet wo r den kann .
Die Ent ropie ist gleich 0 bei einer Kon–
z en t r a t i on a l l er Be ob a c h t ung swe r t e
auf eine Me r kma l sausp r ägung , sie ist
gleich ld(k) bei einer gleichen An z ah l
v on B e o b a c h t u n g s w e r t e n je M e r k -
ma l s ausp r ägung . Da somi t d i e Ober –
gr enze der Ent ropie von der Zah l der
M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n a b h ä n g t ,
w i r d die En t rop i e häu f i g du r ch e i ne
ansch l i eßende Division durch ld(k) in
d em Sinn normi er t , dass sie nunmeh r
We r t e im Bereich größer /gl e i ch 0 und
k l e iner /gl e i ch 1 a n n e hme n k ann . Bei –
sp i e l : Das vo l l beschä f t i g t e Pe r sona l
e i ne s U n t e r n e h m e n s t e i l t e s i ch i n
e i nem be s t immt en )ahr auf zwe i aus –
gewäh l t e Au f gabenbe r e i che w i e folgt
auf: a) Ve rwa l t ung : 6.676 AT-Angestel l -
te, 7 3 0 0 Angeste l l te und 9.979 Ar be i –
ter, b) Sonst iges 34 . 584 AT-Angestel l te,
5 . 073 Anges t e l l t e und 2.314 Arbe i ter .
Der Modus im Bereich Ve rwa l t ung „Ar–
bei ter" und im Bereich Sonst iges „AT-
Angestel l te". Die no rmi e r t en Ent ropi e–
maße von 0,99 im Verwa l tungsbere i ch
und von 0,52 im Sektor Sonst iges ze i –
gen deu t l i ch die g l e i chmäß i ge r e Ver–
t e i l ung der Be o b a c h t u n g swe r t e au f
d i e dr e i Me r kma l s a u s p r ä g u n g e n im
Be r e i ch V e r w a l t u n g . In der Con t r o l –
l ingprax i s w i r d sichedich die Ent ropi e-
Kennzah l indes recht sel ten eingesetzt .
Dass sie dennoch hier vorgestel l t w i r d ,
hat seinen Grund da r i n , dass der Con–
t ro l l er auch z um i n d e s t sehen sol l te ,
dass es noch a u ß e r h a l b se i nes ü b –
l i chen Ho r i z on t s e t w a s g i b t - auch
we nn es so e twas nicht unbed i ng t sei –
nen Manage r kunden anbi etet .
Bei mi ndes t ens r angska l i e r t en Me r k –
ma l s a u s p r ä g u n g e n w i r d z u r S t r e u –
u n g sme s s u n g der Q u a r t i l s a b s t a n d
v e r w e n d e t , m i t u n t e r abe r auch d i e
Spannwe i t e . Bezeichnet ma n den Me –
d i a n a l s 0 , 5 - O u a n t i l ( H a l b i e r u n g s –
eigenschaf t ) , dann können ana l og das
0 , 25 -Quan t i l und das 0 , 75 -Ouan t i l er–
mi t t e l t we r d e n , die auch als unt eres
und oberes Quar t i l beze i chne t we r den .
Der Qua r t i l sabs t and ist dann die Di f fe–
renz zw i schen d em obe r en und d em
unt eren Qua r t i l . Beispiel: M i t den Zah –
l e n a ng a b e n des Beispiels für M i t t e l –
we r t e (vgl. Abb. 2) erhäl t ma n für den
Fall 1 (Med i an = 3) und auch für den
Fall 2 (Med i an = 5) jewei ls einen Quar –
t i l sabs t and von 3 (5 - 2 bzw. 6 - 3) ;
d. h. bei gleicher St reuung ist die Güte
bzw. die Vedäss l i chke i t beider M i t t e l –
we r t e auch gleich. Im Fall 3 ergibt sich
für den Qua r t i l sabs t and 5 - 3 = 2, wo –
bei das obere und das untere Quar t i l
jewei ls als a r i t hme t i sches M i t t e l der
be i den bena chba r t en Beobach t ungs –
w e r t e z u b i l den i st . I n t e r v a l l - u n d
r a t i o s k a l i e r t e S t r e u u n g sma ß e s i nd
de f i n i e r t als M i t t e l w e r t e der A b w e i -
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