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Skala
Noininalskala
Ordinul ska l a
Intcrval lskala
Rat ioskala
Mi t te lwer t
Modus
Modus . Med i an
Modus . Med i an , ari tt ini . Mi t tel
eine Dimens ion: Modus . Med i an oder ar i t i im. Mi t tel
Ke ine Dimens ion: W acl isiumsraten. zur I k r e e h n u n g des Durcl ischni t tswachstums ist das gcome l r . Mi t t e l
der ( i i i ed / a l i l en / u bereehnen
/ u e i Dimens ionen und / ä l i l e r lest: lui rm. Mi t tel
zwe i Dimens ionen und Nenne r lest: ar i thm. Mi t tel
Abb. 4: Anwendungsregeln Mittelwerte
we i s e a u s g e z e i c hn e t , sehr gu t , gu t ,
mi t t e l , schl echt , sehr schl echt , unge –
nügend) beschre iben, dann sind e twa
im Fall 1 die folgenden Aussagen mög –
l ich: Die a m häuf igsten erz iel te Bewer–
t ung (Modus) ist 2 bzw. sehr gut , in der
Hä l f t e al ler Fäl le (Med i an ) ist eine Be–
we r t u n g sch l echt er / g l e i ch (oder abe r
auch besser /gleich) 3 bzw. gut erreicht
wo r den . Diese I n t e rpr e t a t i on des M e -
d i ans bietet sich auf Gr und seiner „Ha l -
bierungseigenschaf t " a n .
Be i s p i e l 2: Be i i n t e r v a l l s k a l i e r t e n
M e r k m a l s a u s p r ä g u n g e n k ö n n e n in
Abhäng i gke i t v om Unt ersuchungsz i e l
oder mi t Bl ick au f die I n t e r p r e t a t i on
der Modus , der Me d i a n und das a r i t h –
me t i s c h e M i t t e l v e r w e n d e t w e r d e n .
Modu s und Me d i a n sind dabe i wen i g
e m p f i n d l i c h g e g e n ü b e r B e o b a c h –
t u n g s w e r t e n b zw . Au s r e i ß e r n , w ä h –
rend in das a r i t hme t i sche Mi t t e l auch
d i e I n f o r m a t i o n e n ü b e r d i e D i f f e –
r enz eng l e i chhe i t e i ngehen . Be i spi e l :
Eine We t t e r beobach t ungss t a t i on me l –
dete die folgenden mi t t l eren (mona t l i –
chen ) L u f t t emp e r a t u r a n g a b e n in °C:
5,9°, -0,1°, 1,7", 3,r, 5,7", 8,r, 13,5°, 16,6°,
19,5°, 17,5°,
17,1°
und
11,1°.
Der Mo d u s
exist ier t nicht . Der Me d i a n (berechnet
als ar i thme t i sches Mi t t e l aus 8,1° und
11,1°)
ist
9,6°
u n d das a r i t hme t i s c h e
M i t t e l
10,0°.
M a n k a n n d a r ü b e r d i s –
ku t i e r en , ob z. B. auch e ine G e w i n n /
Ve r l us t -Re i hung e i nen w i l l k ü r l i c h e n
Nu l l punk t hat . M a n w i r d das in al ler
Regel be j ahen müssen , denn Gewi nn =
0 ist ja letzt l ich eine wi l l kür l i che Klas–
s i f i z i e r ung für e i ne E i n t e i l ung in ge –
w i n n - ode r v e r l u s t b r i ng e nd e Ka l ku –
l a t i onsob j e k t e . D a n n w i r d d e u t l i c h ,
we l che prakt i sche Cont rol l ingre l evanz
d a s o. g. We t t e r b e i s p i e l t a t s a c h l i c h
hat !
Beispiel 3: Der Tagesumsat z von acht
Außend i ens t l e r n be t rägt (in € ) : 1.500,
6 0 0 , 1.900, 1.600, 3 0 . 0 0 0 , 6 0 0 , 1.700,
1.650. Ordnet ma n die Beobachtungs –
we r t e der Größe nach , so scheint der
mi t t l ere Umsa t z e twa 1.600 bis 1.700 €
z u be t ragen . Es zeigt sich, dass im vor–
l iegenden Fall wede r der Modus (kleins–
ter Beobachtungswer t ) noch das a r i t h –
me t i s che M i t t e l (wegen des „Aus r e i –
ßers" zu hoher Durchschn i t t swer t ) zu
plausiblen Ergebnissen f ühr en . Für die
Anwe n d u n g des geome t r i schen oder
ha rmon i schen Mi t t e l s sind die spez i –
f i schen Vo r a u s s e t z u n g e n h i er n i ch t
gegeben. Der Me d i a n scheint noch a m
be s t en d i e m i t t l e r e T e nd e n z z u b e –
schre i ben . Für die M i t t e l we r t e ergibt
sich näml i ch : Ar i t hme t i sches M i t t e l :
( 1 . 500 + 6 0 0 +...+ 1.700 + 1.650) : 8 =
4 . 943 , 75 € ; ha rmon i s che s M i t t e l : 8 :
1
(1/1.500) + ( 1 / 6 0 0 ) +...+ (1 / 1 . 650
)1 =
1 . 2 5 4 , 1 3 € ; g e o m e t r i s c h e s M i t t e l -
( 1 . 5 0 0 * 6 0 0 . . . * 1 . 700 * 1 . 6 5 0 ) 1 / 8 =
1 . 851 , 57 € ; M o d u s : 6 0 0 € ; M e d i a n :
(1.600 + 1.650) : 2 = 1.625 € ; a r i t hme –
t isches M i t t e l ohne den „Umsa t z aus –
reißer" 30 . 000 € : (1.500 + 6 0 0 + 1.900 +
1 . 600 + 6 0 0 + 1 . 700 + 1 . 650 ) : 7 =
1.364,29 € .
Beispiel 4: Ein Un t e r nehmen we i s t für
die jähre 2 0 0 2 bis 2 0 0 6 die folgenden
W a c h s t u m s r a t e n se i nes Ums a t z e s
aus: 1 0 0% ( 2 0 0 2 ) , 5 o % ( 2 0 0 3 ) , 1 0 0%
( 2004 ) , 3 3 , 3% (2005) und 3 0 0 % (2006) .
Die durchschni t t l i che jähr l iche Wachs –
t ums r a t e des Umsa t zes bet rägt : 100%.
Denn bei der Be r echnung des Du r ch –
s chn i t t swa chs t ums (bzw. des du r ch –
schn i t t l i chen j ähr l i chen Wa chs t ums )
sind die Wachs t ums r a t en , die für auf-
e i nander fo l gende j ähre vor l iegen müs –
s e n , z u n ä c h s t in G l i e d z a h l e n b z w .
Wachs t ums f ak t o r en umz u r e chnen : 2;
1,5; 2; 1,33 und 4. Aus di esen Wa chs –
t ums f a k t o r e n ist d a n n das g e ome t –
r ische M i t t e l zu b i l den , das hier den
We r t 2 a n n i mm t . Dami t ergibt sich für
die durchschni t t l i che jähr l iche Wachs –
t ums r a t e des Umsa t zes : 100%. Ergän–
z e n d e A n m e r k u n g : In de r Co n t r o l –
l i ngs t a t i s t i k w i r d e i n M i t t e l we r t aus
d i m e n s i o n s l o s e n B e o b a c h t u n g s –
we r t en (hier: Prozentwer t en) meist le–
d i g l i ch be i B e r e c h n u n g des D u r c h –
s chn i t t swa chs t ums s i nnvo l l v e r we n –
de t . L i egen a l so d i e B e o b a c h t u n g s –
w e r t e w i e i m Be i sp i e l in Fo rm v on
Wachs t ums r a t en vor, so l iefert das ge–
ome t r i s c h e M i t t e l aus d e n e n t s p r e –
c h e n d e n G l i e d z a h l e n , das d a n n a n –
s c h l i e ß e n d in e i ne Wa c h s t um s r a t e
n o c h u m z u f o r m e n i s t , d a s D u r c h –
schn i t t swachs t um i n % . Geht ma n von
den Beoba ch t ungswe r t en selbst aus ,
d a n n erg i bt sich mi t |(E A ' ) ' " ' - 11 *
1 0 0 d i r ek t das Du r c h s c h n i t t swa c h s –
t u m i n % , wobe i E= Endwe r t , A = A n –
f angswe r t n = An z ah l Beobach t ungs –
w e r t e in der Ze i t r e i he . Be i sp i e l : Die
Wachs t ums r a t en eines Kundengebi ets
seien im Sinne von Gl i edzah l en 26 , 2 ,
17 , 8 , 14 , 2 , 8,9, 8,6, 6,9, 9,4 und 11, 4 (a l –
les Prozent angaben) ; diese Prozen t an –
gaben w i e d e r um basieren auf den Um –
sa t zwe r t en (Mio. € ) 5.656, 7.136, 8.405,
9 . 597 , 10 . 452 , 11 . 349 , 12.129, 1 3 . 2 6 6
u n d 14 . 783 . Das d a z u g e h ö r i g e g e o –
me t r i sche M i t t e l , d. h. die acht e Wur –
z e l aus d e m P r o d u k t d e r e n t s p r e –
chenden Gl i edzah l en (2,61) lautet 1,128,
so dass d i e ge such t e d u r c h s c h n i t t –
l iche Umsa t zwachs t ums r a t e 1 2 , 8% ist.
Formt ma n ledigl ich das Produk t der
Gl i edzahl en (2,61) in eine Wa chs t ums –
rate um , so ergibt sich mi t 161,6 % das
G e s a m t w a c h s t u m i m b e t r a c h t e t e n
Gesamt ze i t r aum, in dem die Beobach–
t u n g s w e r t e e r h o b e n w u r d e n . I m
ob i gen Zah l enbe i sp i e l geht ' s abe r et –
wa s schne l l er , i n d em m a n n äm l i c h
3 4 0
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