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magazin 4/04 - Peter Hoberg
WVZ = (AW - RW)/tn * (1 + i /2)
(2)
WVZ Wertverzehr in GE am Perioden–
ende
AW
Anfangsw^ert, Wert des Wirt–
schaftsgutes zum Zeitpunkt t = 0
RW
Restvi?ert, Wert des Wirtschafts–
gutes am Ende (t = tn)
tn
Anzahl Perioden
i
Kalkulat ionszinssatz (Kapital–
kostensatz) pro Jahr
Wenn aus Einfachheitsgründen nur eine
Periode betrachtet w/ird, gilt wegen tn =
1:
WVZ = (AW-RW) * (1
-1
-1/2)
(2a)
Dieser Wertverzehr ist nun sauber auf
der Periodenende bezogen und kann
dann mit anderen Kosten und mit Lei–
stungen saldiert werden.
Die Kapitalkosten sind neben dem Wert–
verzehr die zweite wichtige Komponen–
te. Sie werden üblicherweise aus dem
Produkt von Kapi talkostensatz und
durchschnittlich gebundenem Kapital
ermittelt. Letzteres ergibt sich als Mittel–
wert zwischen Anfangswert AWund dem
Restwert RW am Ende der Nutzungs–
dauer Als Anfangswert werden meistens
die Anschaffungskosten gewählt. Letzte–
re müssten ggfs. um Verzinsungseffekte
modifiziert werden, wenn die Zahlungen
wesentlich vom Aktivierungszeitpunkt
abweichen. Der Kapitalkostensatz i ent–
hält im Unterschied zum externen Rech–
nungswesen auch einen Anteil für die
geforderte Verzinsung des Eigenkapitals.
Somit stellt sich die übliche Formel wie
folgt dar:
KK = (AW + RW)/2 * i
(3)
KK Kapitalkosten in GE/PE
Wie im Fall des Wertverzehrs ist es auch
für die Kapitalkosten ungeklärt, wann sie
im Laufe des Jahres anfallen. Um die im–
pliziten Annahmen aufzudecken, wird
die Gleichung (3) umgeformt:
KK = RW * i
-I-
(AW - RW)/2 * i
(3a)
Innerhalb einer Periode geht die traditio–
nelle Kostenrechnung natüriich davon
aus, dass die Kapitalkosten auf unverän–
dertes Kapital (hier der Restwert RW) zum
Periodenende anfallen, da auf das durch–
gängig gebundene Kapital (z. B. Grund–
stücke) der lahreszinssatz i angewendet
wird.
Der zweite Term (AW - RW)/2 * i besteht
in der Kapitalbasis aus dem Wertverzehr,
der - wie oben ausgeführt - zur Perioden–
mitte anfällt. Also ist die Wertdifferenz
(AW-RW) nur eine halbe Periode gebun–
den. Der Zinssatz kann somit nur eine
halbe Periode angesetzt werden (i/2); das
dann allerdings auf den vollen Betrag.
Damit müsste man die Gleichung etwas
umstellen:
KK = RW * i
-I-
(AW - RW) * i / 2
(3b)
Aber die Gleichung (3b) ist immer noch
falsch, weil der erste Term zum Perioden–
ende, der zweite hingegen zur Perioden–
mitte anfällt. Weiter oben war ausgeführt
worden, dass das Ende der Periode, in
welcher die Leistung anfällt, der geeigne–
te Bezugszeitpunkt ist. Folglich muss hier
der zweite Term noch auf das Jahresende
bezogen werden:
Form der hier nachschüssigen Annuität
AN ermitteln:
KKp^
= RW * i -h (AW - RW) * i / 2 '
(1
+ i /2)
(3c)
KKpi^
Kapitalkosten zum Periodenende
Bis jetzt wurde die Halbjahresverzinsung
(i/2) auf Basis der bekannten Formeln
dargestellt. Dies ist jedoch nicht exakt,
wenn innerhalb der Periode Verzinsungs–
zeitpunkte liegen (hier zur Jahresmitte).
Auf der Basis des Halbjahreszinssatzes
von i / 2 = 5
7o
würde sich ein effektiver
Jahreszinssatz von 10,25 % ergeben. Der
Halbjahreszinssatz muss somit unter
Berücksichtigung des Zinseszinseffektes
ermittelt werden als:
L
= ( l
+ r
- l
(4)
ij^i Halbjahreszinssatz unter Berücksich–
tigung von Zinseszinsen
Bei einem lahreszinssatz von i = 10 %
würde sich der Halbjahreszinssatz i^^ zu
4,881 % ergeben. Damit lassen sich die
Formeln unter Berücksichtigung der ef–
fektiven Verzinsung wie folgt schreiben:
WVZ „ = (AW - RW) * (1 -t- i„
(2b)
KKp^^^
= RW * i
-I-
(AW - RW) * i^, *
(1 +
I
h , )
(3cl)
Die nun richtigen Formeln sind nur im
ersten Schritt etwas komplizierter Denn
da Wertverzehr und Kapitalbindung über
die Prämissen zum zeitlichen Anfall
direkt zusammenhängen, sollte man
beide Kostenarten nur gemeinsam in der
AN = WVZ^„ +
KKp^
(5)
AN
Annuität aus Kapitalverzehr und
Kapitalkosten zum Periodenende
AN = (AW - RW) * (1 +
RW
i
- H
(AW-RW) * i
^ i
* ( 1
g
(5a)
Durch Ausklammern des Ausdrucks
(AW - RW) * (1
-I-
i^|) ergibt sich:
AN = (AW - RW) * (1 + i„|) *
(1
+ i^,)
-I-
RW * i
(5b)
AN = (AW-RW) *
(1
-I-
i)
-1-
RW * i (5c)
AN = AW * (1
-1-
i) - RW
(5d)
Die nachschüssige Annuität besteht also
ganz einfach aus aufgezinstem Anfangs–
wert abzüglich des Restwertes. Dieses
Ergebnis ist außerordentlich erfreulich,
weil es genau dem Wert entspricht, den
man auch bei Einsatz der nachschüssigen
Wiedergewinnungsfaktoren in der Welt
der Zahlungen erhäft. Damit ist nicht nur
gezeigt, dass die alten Ungenauigkeiten
der Kosten- und Leistungsrechnung be–
hoben sind, sondern auch, dass das Er–
gebnis sehr einfach ermittelt werden
kann, was für die Praxis ein zusätzliches
Argument sein dürfte.
Selbstverständlich wäre es auch denk–
bar, die Periodenmitte als einheidichen
Bezugszeitpunkt zu wählen, weil dort
entsprechend den impliziten Prämissen
viele Kosten und Leistungen anfallen.
Dann müssten aber auch alle anderen
Kostenarten auf diesen Zeitpunkt bezo–
gen werden, wenn später ruhigen Gewis–
sens alle Kosten und Leistungen saldiert
werden sollen.
Da zur Periodenmitte aber weder in der
internen noch in der externen Unter–
nehmensrechnung ein Abschluss gefah–
ren wird, ist der Zeitpunkt nicht sehr
praktikabel. Es zeigt sich somit, dass die
in Punkt 4 getroffene Annahme (Bezugs–
zeitpunkt ist das Ende der Periode, in der
die Leistung entsteht) durchaus sinnvoll
ist. Auf diese Zeitpunkte beziehen sich
dann auch die Annuitäten.
Im Beispiel, das aus Gründen der Einfach–
heit nur über eine Periode läuft, betragen
nach der traditionellen Rechnung der
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